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Paradoja de San Petersburgo: explicación, historia y soluciones a un enigma matemático y económico
La paradoja de San Petersburgo muestra cómo la ganancia esperada puede divergir de la intuición humana, proponiendo un juego con esperanza matemática infinita.
Las soluciones clásicas pasan por analizar la utilidad subjetiva del dinero y la aversión al riesgo, que limitan la cantidad racional a apostar.
En la práctica, la estructura real de cualquier juego introduce límites que eliminan la paradoja teórica del valor infinito.
La paradoja de San Petersburgo es uno de esos misterios matemáticos que desafían cualquier lógica intuitiva y lleva siglos provocando debates entre matemáticos, economistas y aficionados a la probabilidad. A pesar de su antigüedad, sigue captando la atención de quienes disfrutan dándole vueltas a situaciones en las que lo matemáticamente correcto resulta completamente impracticable en la vida real. Desde su planteamiento en el siglo XVIII, la paradoja ha sido un auténtico quebradero de cabeza para las mentes más brillantes, ¡y no es para menos!
En este artículo, vamos a desgranar todos los detalles —históricos, matemáticos, filosóficos y hasta prácticos— de la paradoja de San Petersburgo. Recorreremos su planteamiento original, cómo calcular expectativas, qué tiene que ver la utilidad del dinero, y cuáles fueron los intentos de respuestas y simulaciones modernas. Si alguna vez te preguntaste cuánto pagarías por entrar en un juego aparentemente ventajoso, aquí vas a descubrir por qué la respuesta es mucho más compleja de lo que parece a simple vista.
Origen e historia de la paradoja de San Petersburgo
Para hablar de la paradoja de San Petersburgo hay que remontarse al año 1713. Todo empieza con Nicolaus Bernoulli, un miembro de la ilustre familia de matemáticos suizos que encontró en los juegos de apuestas una fuente de problemas matemáticos fascinantes. Nicolaus envió una carta al matemático francés Pierre Rémond de Montmort, planteándole un desafío que acabaría pasando a la historia como el enigma de San Petersburgo. El propio Nicolaus se vio incapaz de hallar una solución satisfactoria a su paradoja, y dos años después, en 1715, trasladó su problema a su primo Daniel Bernoulli, reconociendo que tenía mejores capacidades analíticas para enfrentarse a semejante acertijo.
Por entonces, Daniel Bernoulli residía en San Petersburgo, ciudad que por aquellos años se estaba convirtiendo en un verdadero imán para científicos y pensadores gracias al impulso reformador de Pedro el Grande. El propio nombre de la paradoja está vinculado a este emplazamiento, ya que el análisis definitivo de Daniel vio la luz décadas más tarde en las Actas de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, en 1738.
Enunciado del juego de San Petersburgo
La esencia de la paradoja gira en torno a un juego de apuestas tan simple como desconcertante:
El jugador paga una determinada cantidad para poder participar.
Lanza una moneda de cara o cruz de manera sucesiva hasta que salga cruz por primera vez.
En ese momento se detienen los lanzamientos y el jugador recibe una recompensa en dinero.
¿La recompensa? Ahí está la clave: el jugador recibe 2n monedas, donde n es el número de lanzamientos necesarios hasta que salió la primera cruz. Es decir:
Si sale cruz en el primer intento, gana 21 = 2 euros.
Si la cruz aparece en la segunda tirada, el premio es 22 = 4 euros.
Si aparece en la tercera tirada, 23 = 8 euros.
…y así sucesivamente.
Lo sorprendente es que el número de lanzamientos —y por tanto el premio potencial— no tiene límite. Por improbable que sea, siempre se puede ir encadenando caras y posponiendo la aparición de la primera cruz.
El dilema fundamental: ¿cuánto deberíamos pagar para jugar?
Según la teoría de la probabilidad clásica, para calcular cuánto debería valer realmente la entrada a un juego de este tipo, se utiliza el concepto de esperanza matemática (o ganancia esperada). Este método pondera las ganancias de cada resultado por su probabilidad respectiva. El cálculo se resume así:
La probabilidad de que la primera cruz salga en el lanzamiento k es (1/2)k (porque deben salir k-1 caras y, finalmente, una cruz).
La ganancia en ese caso sería 2k euros.
La esperanza matemática, entonces, se calcula sumando para todos los posibles valores de k la multiplicación entre la probabilidad y el premio potencial:
EM = 1 + 1 + 1 + … (una suma infinita de unos).
¡El resultado es el infinito! ¡Una locura!
¿Dónde está la paradoja?
La paradoja surge justo aquí: matemáticamente, la esperanza de ganancia es infinita, lo que implica que, siguiendo la lógica fría de la teoría de la decisión, deberías estar dispuesto a pagar cualquier suma de dinero para participar, por elevada que sea, porque la ganancia esperada supera cualquier gasto imaginable.
Pero la realidad es que nadie racional estaría dispuesto a pagar más de una cantidad razonable (10, 15 o 20 euros), a pesar de que, sobre el papel, el valor teórico sea infinito. ¿Por qué existe tal choque entre la teoría y nuestro sentido común?
Diferencia entre valor monetario y utilidad
Aquí es donde entra en juego la observación capital de Daniel Bernoulli. En su famoso artículo “Exposición de una nueva teoría en la medición del riesgo” publicado en 1738, Bernoulli argumentaba que:
“Cualquier incremento en riqueza, no importa cuán insignificante, siempre resultará en un incremento en utilidad que es inversamente proporcional a la cantidad de bienes ya poseídos”.
Esto es, el valor del dinero no crece de forma lineal con la cantidad recibida. Para una persona con pocos recursos, ganar 100 euros puede tener un enorme valor, mientras que para alguien millonario la misma cantidad apenas supone una diferencia apreciable. A esto se le llama utilidad marginal decreciente: cada euro adicional aporta menos utilidad subjetiva que el anterior.
Bernoulli y Gabriel Cramer fueron los primeros en proponer que, en vez de mirar la ganancia en términos absolutos, se valore en términos de utilidad para el jugador concreto. Si la utilidad de una suma x de dinero se expresa como u(x) y la función es creciente pero cóncava (por ejemplo u(x) = log(x+1) o u(x) = √x), la suma ponderada converge a un valor finito, ¡no infinito!
Ejemplo numérico con funciones de utilidad
Vamos a aterrizarlo con ejemplos:
Si utilizamos u(x) = √x, la utilidad esperada del juego de San Petersburgo resulta ser aproximadamente 1,207. Es decir, el jugador debería estar dispuesto a pagar 1,457 € para entrar (ya que √x = 1,207 → x = 1,457).
Con la función u(x) = log(x+1), el valor sale algo inferior: x = 1,298 €.
El tipo de función de utilidad depende mucho del perfil psicológico de cada persona: alguien muy averso al riesgo usará una función más cóncava y, por tanto, pagará menos; una persona que le gusta asumir riesgos pagará algo más.
Intentos adicionales de explicación y solución
A lo largo de las décadas, han surgido múltiples enfoques que intentan explicar el sentido de la paradoja. Estos enfoques se pueden dividir en dos grandes vertientes:
Análisis centrados en el individuo (la decisión del jugador)
Análisis centrados en la estructura del propio juego
1. Decisiones individuales: aversión al riesgo y utilidad marginal
Este primer tipo de explicación se basa en que la ganancia monetaria y la utilidad subjetiva de esa ganancia no son equivalentes. Aparte de la función de utilidad decreciente, existe lo que se conoce como aversión al riesgo: la mayoría de las personas prefiere un premio seguro pero más modesto antes que arriesgar una gran suma incluso si la esperanza matemática parece favorable.
2. Límites prácticos del juego
Otros autores han centrado su crítica en la falta de realismo del planteamiento. En el mundo real:
No existe una banca lo suficientemente grande como para asumir la posibilidad, por remota que sea, de pagar sumas astronómicas (por ejemplo, 250 euros).
Nunca podríamos realizar infinitos lanzamientos, ni serían viables resultados extremos como necesitar 300 tiradas antes de sacar la primera cruz.
Por tanto, la esperanza matemática infinita no es más que una construcción teórica sin correspondencia en la práctica.
Ejemplos de esperanza matemática versus utilidad en otros juegos
El concepto de esperanza matemática se puede ver claramente con otros juegos de azar menos extremos. Por ejemplo, si lanzamos un dado de seis caras:
Si acertamos y sale un 6, ganamos 20 euros.
Si obtenemos un 5, ganamos 8 euros.
Si cae cualquier otro resultado, perdemos un euro.
La ganancia esperada sería: EM = (1/6)·20 + (1/6)·8 + (4/6)·(-1) = 4 euros. En este caso, resulta obvio que pagar más de 4 euros no es rentable, y menos tampoco lo sería para la banca.
Matematización del juego de San Petersburgo
Formalizando algebraicamente:
La probabilidad de sacar la primera cruz en la tirada k es Pk = 1 / 2k
El premio en esa tirada será siempre 2k
Por tanto, la suma:
EM = ∑k=1∞ (1 / 2k) * 2k = ∑ 1 = infinito
Si se emplea una función de utilidad como u(x) = log(x+1) o u(x) = √x, las sumas convergen y la paradoja desaparece en la práctica.
Análisis moderno: juegos SP y variantes limitadas
Una aproximación reciente es analizar la paradoja como una familia de juegos SP, donde se limita el número de lanzamientos:
SP1: Si sale cruz en el primer lanzamiento, se gana 2 euros; si no, 0, y el juego acaba. Esperanza: 1 euro.
SP2: Cruz en la primera, 2 euros y termina. Si no, otra tirada que, si sale cruz, da 4 euros. Expectativa matemática: 2 euros.
SPn: Un máximo de n lanzamientos, y la esperanza matemática pasa a ser n euros, reduciendo el premio máximo a 2n.
Con esta limitación, la paradoja desaparece: el precio justo por jugar es igual al número de rondas permitidas. Sin embargo, a partir de cierto valor, las consideraciones prácticas (utilidades decrecientes, aversión al riesgo, limitaciones de la banca) vuelven a imponerse.
Simulación computacional: ¿qué pasa al jugar muchas veces?
Para los más curiosos (y quienes disfrutan de las matemáticas aplicadas), existen simulaciones realizadas con programas como MATLAB —tienes varios ejemplos en ingenieriabasica.es— que nos permiten ver lo que ocurre cuando jugamos al juego de San Petersburgo muchas veces.
Las simulaciones muestran que, al incrementar el número de partidas, el precio justo al que tendería la apuesta va subiendo, pero solo cuando el número de repeticiones es inalcanzable en la vida real. Los premios realmente grandes, asociados a probabilidades minúsculas, rara vez aparecen (por ejemplo, para ganar un premio de 107 euros tendríamos que jugar más de diez millones de veces), pero cuando aparecen pueden disparar la media considerablemente.
Repercusiones filosóficas y económicas
La paradoja de San Petersburgo es mucho más que una rareza matemática: creó una auténtica revolución en la teoría económica y en la filosofía de la decisión. Daniel Bernoulli sentó las bases de la teoría de la utilidad esperada, uno de los conceptos más influyentes en economía y teoría de juegos hasta nuestros días. La idea central es que los individuos actúan no solo sobre la base de potenciales ganancias, sino sobre su percepción subjetiva del riesgo y la utilidad marginal del dinero.
Muchos economistas posteriores han ampliado sus ideas, y la función de utilidad se utiliza actualmente en análisis de inversiones, seguros e incluso en política pública. La paradoja, de hecho, es uno de los motores de la economía del comportamiento contemporánea.
Debate actual y relevancia en la teoría de juegos
En redes sociales y foros como Reddit, la paradoja sigue generando debates encendidos. El consenso generalizado señala que casi nadie —por muy matemático que sea— estaría dispuesto a pagar más de unos pocos euros para jugar, por la sencilla razón de que los premios desorbitados son extremadamente improbables y la utilidad percibida de cantidades ingentes de dinero se aplana muy rápido.
Para los estudiantes de probabilidad y economía, el dilema de San Petersburgo sigue siendo una herramienta educativa invaluable, porque enseña a no tomar los números en bruto como una verdad absoluta en el mundo real.
¿Por qué la intuición humana falla ante la paradoja?
Nuestra mente es fantástica para distinguir entre «mucho» y «poco», pero flojea cuando se enfrenta a órdenes de magnitud extremos o probabilidades muy bajas asociadas a enormes recompensas. Por esto, y a pesar de los argumentos matemáticos, nos resulta casi imposible imaginar que un juego donde puedes ganar mil billones de euros tenga justificación práctica, aunque la probabilidad esté ahí —aunque sea una entre millones de millones—.
¿Te atreverías a pagar 20 euros para jugar por la promesa de riqueza infinita, con una probabilidad microscópica? Muy poca gente lo haría, y eso es precisamente lo que hace a la paradoja de San Petersburgo tan brillante como desconcertante.
Al analizar los argumentos, se comprende que la racionalidad matemática no siempre coincide con la percepción subjetiva, especialmente cuando se trata de valorar pequeñas probabilidades de recompensas enormes y cómo nuestra mente las percibe. La paradoja invita a reflexionar sobre los límites del entendimiento humano frente a conceptos abstractos y probabilísticos.
