Todo sobre las Cadenas de Markov: Qué son, cómo funcionan y cómo se aplican en la vida real

Las cadenas de Markov se han convertido en una herramienta fundamental en múltiples disciplinas, desde las matemáticas hasta la ingeniería, la economía, la biología o el análisis del lenguaje. Estos modelos estocásticos permiten predecir el comportamiento a lo largo del tiempo de sistemas que evolucionan aleatoriamente, pero con una estructura de dependencia muy particular.

Lo fascinante de estos modelos es que, aunque pueden parecer complejos, parten de una idea muy simple: el estado actual de un sistema contiene toda la información necesaria para predecir el siguiente. Esto se conoce como la «propiedad de Markov» o «sin memoria», y ofrece un marco muy potente para entender fenómenos dinámicos donde conocer el pasado completo no aporta nada nuevo respecto al futuro más allá del estado presente.

¿Qué son exactamente las Cadenas de Markov?

Una cadena de Markov es un tipo de proceso estocástico con un número finito de estados, donde las probabilidades de pasar de un estado a otro están determinadas únicamente por el estado actual. Estas probabilidades son fijas y se organizan en lo que se conoce como una matriz de transición, con la que se pueden predecir las probabilidades futuras de cada estado.

Por ejemplo, si consideramos el caso de una empresa de logística con camiones en tres ciudades diferentes (Boston, Chicago y Los Ángeles), podríamos saber cada mes cuántos camiones pasan de una ciudad a otra. Si 50% de los camiones de Boston se quedan y el otro 50% va a Chicago, y el mismo comportamiento ocurre para los camiones de Chicago y Los Ángeles, podríamos prever cómo se redistribuirán los camiones con el tiempo.

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Este mismo principio se puede usar en una infinidad de situaciones donde un sistema cambia de estado con cierta probabilidad: usuarios que cambian de marca, clientes que abandonan o repiten compra, pacientes que evolucionan en un tratamiento, etc.

Fundamentos matemáticos: matrices de transición

El corazón de toda cadena de Markov es su matriz de transición. Es una matriz cuadrada donde cada entrada p_ij representa la probabilidad de ir del estado j al estado i (es decir, la columna representa el estado actual y la fila el siguiente). Una propiedad clave es que la suma de las probabilidades de cada columna debe ser uno, ya que representan todas las posibilidades para un estado actual.

Por ejemplo, en el caso de los camiones, la matriz de transición podría tener este aspecto:

P =
[1/2   1/2   0  ]
[1/2    0   1/2 ]
[  0   1/2  1/2]

Con esta matriz es posible calcular el estado del sistema para cualquier paso futuro mediante multiplicaciones sucesivas: si conocemos el estado inicial x₀, el estado en el tiempo 1 será x₁ = P x₀, el estado en el tiempo 2 será x₂ = P² x₀, y así sucesivamente.

Ejemplos prácticos para entender su funcionamiento

Supongamos una empresa que fabrica cereales y posee un 25% del mercado. Se sabe que el 88% de sus clientes se mantienen fieles, pero un 12% cambia a la competencia. A su vez, el 85% de los clientes de la competencia se mantienen fieles a ella y el 15% cambia a la empresa en cuestión. Esto se puede representar con la siguiente matriz:

P =
[0.88   0.12]
[0.15   0.85]

Si el estado inicial es [0.25, 0.75], podemos multiplicarlo por la matriz para ver cómo evoluciona con los años:

• Año 2: [0.3325, 0.6675]
• Año 3: [0.3927, 0.6073]

Podemos seguir así sucesivamente hasta llegar a un estado estacionario donde las probabilidades ya no cambian. Este estado es clave: indica cómo estará el sistema a muy largo plazo.

El concepto de equilibrio: estados estacionarios

Una de las principales virtudes de las cadenas de Markov es poder estudiar su comportamiento a largo plazo. En muchos casos, el sistema evoluciona hasta estabilizarse, de manera que las probabilidades de estar en cada estado ya no cambian entre pasos. Este vector se llama vector estacionario, y debe cumplir que Px = x, además de ser un vector de probabilidad (sus entradas suman 1 y son no negativas).

Resolver este sistema de ecuaciones nos permite encontrar cómo se comportará el sistema en un escenario estable. Por ejemplo, si volvemos al caso de los camiones, el análisis da como resultado un estado estacionario donde cada ciudad recibe el 33,3% de los camiones de forma permanente.

Aplicaciones reales en múltiples disciplinas

Las cadenas de Markov tienen infinidad de usos en el mundo real:

• Economía y finanzas: para modelar la evolución de precios de activos, riesgos crediticios u opciones de inversión.
• Biología: permiten analizar la propagación de genes, la dinámica de poblaciones o tratamientos clínicos.
• Ingeniería: se usan en simulación de líneas de producción, análisis de mantenimiento de equipos, sistemas de atención al cliente, etc.
• Procesamiento del lenguaje: forman parte de modelos de predicción de palabras y generación automática de texto.
• Marketing: útiles para analizar comportamientos de compra, fidelidad de clientes y migración entre marcas.

Herramientas para su implementación: caso de uso con KNIME

KNIME Analytics Platform es una herramienta de análisis visual muy utilizada para implementar cadenas de Markov, ya que permite calcular matrices de transición fácilmente y simular el comportamiento del sistema paso a paso sin necesidad de programación compleja.

Existen dos métodos comunes para este cálculo:

• Método iterativo: multiplicar el vector de estados por la matriz de transición en bucles sucesivos.
• Uso de scripts en Python: que permiten automatizar el cálculo de Pⁿ para diferentes valores de n.

Con KNIME, se han desarrollado incluso componentes específicos que permiten introducir una matriz inicial, configurar los pasos temporales deseados y obtener directamente la evolución del sistema.

Ventajas y precauciones al usar teoría de Markov

Trabajar con este tipo de modelos tiene bastantes beneficios:

• Simplicidad: se pueden aplicar con reglas claras y resultados predecibles.
• Facilidad de análisis: permiten entender la evolución del sistema y hacer simulaciones precisas.
• Flexibilidad: se pueden adaptar a muchos contextos, siempre que se identifiquen correctamente los estados y las transiciones.
• Escalabilidad: ideales para crear modelos más complejos a partir de estructuras simples.

Eso sí, hay que tener cuidado con sistemas que no alcanzan un equilibrio, como aquellos definidos por matrices con ciclos alternos (por ejemplo, que cambian de estado indefinidamente sin estabilizarse). También es importante asegurarse de que los datos usados para estimar las transiciones sean relevantes y estén correctamente recogidos.

Una buena forma de validar estos modelos es aprovechando herramientas y datos actuales. Por ejemplo, las tarjetas de fidelidad en supermercados permiten saber qué clientes cambian de marca y con qué frecuencia, lo que ayuda a construir matrices de transición realistas y útiles para estrategias comerciales.

Las cadenas de Markov son mucho más que un concepto matemático abstracto. Se han convertido en una pieza clave para entender sistemas dinámicos en campos tan diversos como las finanzas, la ingeniería, la biología o las ciencias sociales. Saber trabajar con ellas permite anticipar comportamientos, optimizar decisiones y simular escenarios futuros. Con herramientas accesibles como KNIME, cualquiera puede empezar a modelar con Markov y tomar decisiones informadas con base en probabilidades bien fundamentadas.

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