Método Simplex Doble Fase: Explicación, Uso y Procedimiento Detallado

El método simplex doble fase es una de esas herramientas esenciales en la programación lineal que, aunque a simple vista puede sonar intimidante, en realidad juega un papel crucial para resolver problemas complejos en los que otras variantes del método simplex no son suficientes. Desde la maximización de beneficios hasta la minimización de costes en operaciones empresariales, industriales o de investigación, esta técnica ha sido protagonista silenciosa de multitud de avances en la optimización matemática y la toma de decisiones eficientes.

En este artículo encontrarás una explicación minuciosa, aterrizada y clara sobre cómo funciona el procedimiento de las dos fases, cuándo es necesario utilizarlo, y cuáles son los pasos matemáticos y lógicos que lo diferencian respecto al método simplex tradicional. Además, pondremos especial énfasis en los conceptos prácticos que suelen pasar inadvertidos y abordaremos los entresijos que suelen provocar dudas entre quienes se inician o desean afianzar sus conocimientos en optimización matemática.

¿Qué es el método simplex y por qué necesitamos el método de doble fase?

El método simplex es, en esencia, un algoritmo iterativo –es decir, repetitivo– diseñado para encontrar la solución óptima en problemas de programación lineal. Su principal función es mejorar paso a paso el valor de la función objetivo (maximizar o minimizar según el contexto) moviéndose por los vértices de la región factible definida por las restricciones del problema. El proceso termina cuando ya no es posible mejorar la solución sin infringir alguna restricción.

Ahora bien, para que el método simplex funcione sin inconvenientes, es necesario que todas las restricciones estén en forma estándar, es decir, transformadas en ecuaciones de igualdad y con coeficientes independientes iguales o mayores a cero. Si las restricciones involucran desigualdades del tipo «mayor o igual que» (≥) o igualdades puras (=), o si tras estandarizar el sistema no se puede obtener una base inicial factible, el método simplex convencional se queda corto. Es aquí donde el método de doble fase (o método de las dos fases) se convierte en imprescindible, permitiendo encontrar bases factibles a través de un procedimiento auxiliar previo.

Fundamentos del modelo: estructura y requisitos

Un problema de programación lineal apto para simplex debe ajustarse a ciertas normas para poder aplicar las técnicas sin contratiempos:

• Todas las restricciones tienen que estar expresadas como ecuaciones de igualdad.
• Las variables involucradas deben ser no negativas, es decir, mayores o iguales a cero.
• Los términos independientes de las restricciones (b_i) también deben ser no negativos.
• La función objetivo será un valor a maximizar o minimizar.

En la práctica, no siempre se presentan problemas tan «limpios». Es común encontrar restricciones con desigualdades (≤, ≥) y términos independientes negativos. Hay que normalizar el problema y convertirlo al formato compatible, introduciendo variables adicionales como las famosas variables de holgura, de exceso y artificiales, que juegan roles clave en la operativa del método simplex y, especialmente, del método de doble fase.

Normalización y manejo de restricciones complejas

Conviene distinguir entre los distintos tipos de restricciones y saber cómo adaptarlas:

• Desigualdad del tipo «≤»: Se añade una variable de holgura, con coeficiente cero en la función objetivo y signo positivo en la ecuación.
• Desigualdad del tipo «≥»: Es necesario incorporar una variable de exceso (restando en la ecuación) y, además, añadir una variable artificial para garantizar que existe una base inicial factible.
• Igualdad (=): Se debe agregar directamente una variable artificial, puesta con coeficiente cero en la función objetivo y signo positivo en la ecuación, ya que suele no ser posible iniciar el método con una base válida sin ella.

Estas variables adicionales permiten transformar el modelo a una estructura apta para el método simplex, pero también ocasionan que, en ocasiones, la solución inicial esté «contaminada» por las variables artificiales, lo que llevaría a una solución irreal o absurda si no se eliminan antes de comenzar el verdadero proceso de optimización. Por eso, el método de las dos fases es esencial cuando hay variables artificiales.

¿Cuándo utilizar el método simplex doble fase?

El método de las dos fases es imprescindible en los siguientes escenarios:

• Tienes restricciones igualdades (=) en tu sistema.
• Al normalizar alguna desigualdad, se generan variables artificiales.
• El sistema tiene restricciones con términos independientes negativos, por lo que la base inicial no es directamente factible.
• No se logra formar una base inicial factible simplemente con variables de holgura y exceso.

En estos casos, el método de doble fase nos proporciona un proceso sistemático para asegurarnos de que cualquier solución obtenida sea realmente viable y óptima.

Funcionamiento del método simplex tradicional

Antes de adentrarnos en el método doble fase, es útil repasar cómo opera el simplex clásico:

• Se parte de una tabla inicial en la que las variables de holgura (o exceso/artificia) suelen formar la base.
• En cada iteración se verifica si es posible mejorar la función objetivo inspeccionando los costes reducidos (diferencia entre el valor actual de la función objetivo y el potencial de mejora al cambiar una variable no básica por una básica).
• La variable con el coste reducido más negativo (o positivo en minimización) es la candidata a entrar en la base.
• Se determina la variable que debe salir observando cuál, al crecer la variable entrante, conduce más rápidamente a violar una restricción.
• Se repite este procedimiento hasta que ya no quedan costes reducidos negativos (máximo) o positivos (mínimo), lo que señala el fin del proceso y la obtención de la solución óptima.

Este método es extraordinariamente potente, pero –como hemos visto– no siempre es posible arrancar desde una base inicial factible cuando hay restricciones «problemáticas». Aquí es donde entra en juego el método de doble fase.

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Desglose del método simplex doble fase: paso a paso

El método de las dos fases divide el proceso en dos grandes etapas diferenciadas:

Fase 1: Encontrar una base factible (eliminación de variables artificiales)

La primera fase consiste en «limpiar» el sistema, asegurándonos de que arrancamos de una base que cumple todas las restricciones, sin variables artificiales involucradas:

1. Formulación del problema auxiliar: Se construye una nueva función objetivo, Z’, que es la suma de las variables artificiales, con el objetivo de minimizarla. El propósito es conseguir que todas las variables artificiales valgan cero en la solución óptima de esta fase.
2. Cálculo inicial de la tabla simplex: La tabla inicial para la Fase 1 se configura como en el método simplex tradicional, pero ahora, la fila de la función objetivo lleva coeficientes -1 para las variables artificiales y 0 para todas las demás variables (ya que el objetivo es eliminar estas variables de la base).
3. Iteración simplex: El algoritmo simplex se aplica sobre este problema auxiliar. Si, al acabar la Fase 1, el valor de la función objetivo auxiliar (Z’) es cero, significa que es posible encontrar una solución factible para el problema original. Si es distinto de cero, el sistema es inviable: no hay solución que satisfaga todas las restricciones.

Un aspecto clave en esta fase es que, en la tabla resultante, ninguna variable artificial debe permanecer en la base con valor positivo; solo así podremos pasar a la segunda fase.

Fase 2: Resolución del problema original

Superada la Fase 1, el sistema ya está «limpio» y podemos centrarnos en el problema real de optimización:

1. Eliminación de columnas de variables artificiales: Se purga la tabla de toda columna asociada a variables artificiales, ya que han dejado de ser necesarias e incluso podrían distorsionar la solución óptima.
2. Renovación de la función objetivo: Se incorpora la función objetivo original en la tabla, con los coeficientes adecuados para cada variable.
3. Aplicación del método simplex tradicional: Se reanuda el proceso iterativo para buscar el máximo o mínimo de la función objetivo con simplex clásico, usando la base factible que hemos garantizado durante la Fase 1.

La solución que se obtenga tras esta segunda fase es la solución óptima verdadera del problema planteado.

Construcción práctica de las tablas simplex

Las tablas simplex son el corazón del procedimiento, y su estructura permanece casi constante tanto en la Fase 1 como en la Fase 2, aunque cambia la función objetivo:

• Primera columna: Variables básicas que forman la base actual.
• Segunda columna: Coeficientes de estas variables en la función objetivo.
• Tercera columna: Términos independientes (P₀).
• Resto de columnas: Coeficientes de cada restricción para el resto de variables, incluyendo variables de decisión, de holgura, de exceso y artificiales.
• Fila superior: Títulos de cada columna.
• Fila inferior: Filas de función objetivo (Z), recogiendo el valor de la función objetivo y los costes reducidos.

El cálculo de los valores Z_j se realiza como la suma de los productos de los coeficientes de las variables básicas por los coeficientes correspondientes presentes en la tabla, menos el coeficiente de la variable en la función objetivo (cuando se trate de la Fase 1, los coeficientes relevantes serán los de las variables artificiales).

Criterios de decisión y avances en el método simplex

Durante el proceso simplex, sea en una fase o en la otra, se aplican los siguientes pasos en cada iteración:

• Determinación de la variable entrante: Se elige la variable cuyo coste reducido es el de mayor valor absoluto negativo (en maximización) o positivo (en minimización). Esta es la que más puede mejorar la función objetivo.
• Selección de la variable saliente: Se calcula el cociente P₀/P_j para todas las filas donde P_j > 0; la de menor valor indica la variable que debe abandonar la base (limita el crecimiento de la entrante).
• Identificación del elemento pivote: Es el elemento de la tabla situado en la intersección de la fila y columna de las variables saliente y entrante, respectivamente.
• Actualización de la tabla: Se recalculan los valores para todas las filas, asegurando que la variable entrante tome valor 1 en esa fila y 0 en todas las demás (proceso análogo al método de Gauss-Jordan).
• Condición de parada: Si ya no existen costes reducidos negativos (o positivos), el algoritmo finaliza con la solución óptima.

Nota importante: Si en el momento de tomar una decisión hay empates (más de una variable cumple la condición con idéntico valor), pueden elegirse cualquiera de ellas, aunque hay estrategias recomendadas para evitar bucles o problemas de degeneración.

Situaciones especiales: soluciones múltiples, ilimitadas o infactibles

En la práctica, no todos los problemas tienen una única solución óptima y perfecta. Es clave interpretar correctamente los resultados y saber cuándo un problema presenta alguna de estas situaciones particulares:

• Infinitas soluciones: Si tras alcanzar la condición de parada, alguna variable de decisión no básica tiene un coste reducido cero, significa que existe otra solución, diferente, con el mismo valor óptimo. Basta una nueva iteración para obtener una solución alternativa.
• Solución ilimitada (no acotada): Si la columna de la variable que debería entrar en la base tiene todos los valores negativos o nulos, la solución es ilimitada; la función objetivo puede crecer sin restricción.
• No existe solución (inviabilidad): Si, al finalizar la Fase 1, alguna variable artificial permanece en la base con valor mayor que cero, el problema no tiene solución factible.
• Empates: En los procesos de elección de variable entrante o saliente, los empates se pueden resolver arbitrariamente, aunque se recomienda favorecer variables básicas (en la entrada) o de decisión (en la salida) para evitar bucles indeseados.

Estos casos pueden diagnosticarse fácilmente a partir de la lectura de la tabla simplex y observando los valores tras la última iteración.

Optimización para maximización y minimización: diferencias de procedimiento

El método simplex doble fase se adapta tanto a problemas de maximización como de minimización, aunque existen detalles técnicos que conviene tener en cuenta:

• En maximización, la condición de parada se cumple cuando no hay costes reducidos negativos en la fila de la función objetivo.
• En minimización, la condición de parada es que no queden costes reducidos positivos.

Es posible transformar problemas de minimización en maximización multiplicando la función objetivo por -1, lo cual permite unificar criterios y simplificar la operativa del algoritmo. No obstante, hay que llevar cuidado en interpretar correctamente los resultados, devolviendo el signo original al finalizar el proceso.

Ventajas y limitaciones del método simplex doble fase

La principal ventaja del método de doble fase radica en su capacidad para lidiar con sistemas «complejos» en los que de otro modo el simplex no podría aplicarse. Permite abordar problemas con restricciones difíciles (igualdades, términos negativos, mezcla de desigualdades) y genera, al final de la Fase 1, una base inicial factible sobre la que operar.

Sin embargo, añadir variables artificiales y ejecutar una fase adicional implica un mayor costo computacional y cierta complejidad extra para el usuario, al menos en la fase de preparación del modelo. Aun así, es la mejor alternativa para garantizar soluciones correctas y útiles en problemas realistas.

Errores y cuestiones frecuentes en el método de doble fase

En la aplicación práctica del método simplex doble fase, pueden surgir diversas dudas o dificultades habituales:

• ¿El elemento pivote puede ser nulo? No, debe ser estrictamente positivo. Solo se calculan cocientes usando valores positivos en la columna correspondiente (para asegurar el avance del algoritmo).
• ¿Qué pasa si la suma de las variables artificiales no es cero tras Fase 1? El problema es inviable y no tiene solución práctica dentro del contexto de las restricciones dadas.
• ¿Qué ocurre si las restricciones tienen todos los términos independientes negativos? Es necesario multiplicar por -1 esas restricciones (y cambiar el sentido de la desigualdad), pero esto puede hacer necesaria la introducción de variables artificiales adicionales.
• ¿Cuándo aparecen soluciones múltiples? Cuando, tras la última iteración, existe alguna variable de decisión no básica con coste reducido igual a cero.
• ¿Se puede terminar en un bucle infinito? Con elecciones arbitrarias puedes caer en ciclos, pero existen reglas para evitarlo (como la regla de Bland).

Una cuidadosa preparación de la tabla y una interpretación detallada de las salidas permiten minimizar estos errores y aprovechar al máximo la potencia del método de doble fase.

Ejemplo conceptual de aplicación

Supongamos una empresa que necesita optimizar la producción de varios productos, cada uno de los cuales requiere recursos diferentes. Al establecer las restricciones, algunas de ellas serán «menor o igual que» (por ejemplo, máximos de materia prima), otras «mayor o igual que» (por ejemplo, necesidades mínimas de un componente), e incluso puede haber igualdades (como cuotas obligatorias). Esto genera un sistema mixto:

• Al transformar las «menor o igual que», se añaden variables de holgura.
• Con las «mayor o igual que», se agregan variables de exceso y, obligatoriamente, variables artificiales.
• En las igualdades, se suman directamente variables artificiales.

Al montar la tabla inicial con todas estas variables, la base compuesta solo por variables de holgura o exceso no suele ser factible. Por tanto, se recurre a la Fase 1 para garantizar que puede darse una solución válida (con todas las variables artificiales igual a cero), y solo entonces se procede a buscar la solución óptima «real» en la Fase 2.

Herramientas y formatos más utilizados

Gran parte de los materiales y recursos acerca del método simplex doble fase se encuentran en diferentes formatos:

• Artículos teóricos y didácticos en sitios web especializados en matemáticas aplicadas y logística.
• PDFs y presentaciones utilizadas en cursos universitarios y clases de investigación de operaciones.
• Tutoriales en vídeo, muchos de ellos prácticos, que ayudan a entender el proceso visualmente.
• Algoritmos implementados en software específico y hojas de cálculo para automatizar los cálculos.

Consejo: Si bien los vídeos pueden servir de introducción, el trabajo con tablas y la interpretación de resultados requiere la comprensión detallada de los pasos, algo que solo se consigue con explicaciones extensas y ejemplos de cada tipo de restricción y variable.

Recomendaciones para estudiantes y profesionales

Si te enfrentas a un problema de optimización lineal en tu trabajo o estudios, ten presente estos consejos:

• Dedica tiempo a preparar bien el modelo, identificando el tipo de cada restricción y adaptándola de forma correcta.
• Comprueba, antes de aplicar el algoritmo, si es posible arrancar directamente con simplex o si necesitas el método de las dos fases.
• Interpreta las tablas con detenimiento: una variable artificial con valor positivo tras la Fase 1 es un diagnóstico claro de inviabilidad.
• Ante empates, recurre a reglas probadas para evitar degeneración o ciclos interminables.
• Valora el uso de software especializado para problemas grandes, pero asegúrate de comprender los pasos manualmente antes de confiar el proceso a una máquina.

Dominar el método simplex doble fase puede parecer un reto al principio, pero es, sin duda, una de las herramientas más fiables y versátiles para abordar problemas de optimización complejos, esos en los que las restricciones no colaboran y la solución «fácil» no existe. Con una base teórica sólida y algo de práctica con ejemplos reales, los dos grandes obstáculos –la formulación de una base inicial factible y la eliminación de variables artificiales– pueden superarse sin mayores dificultades, permitiéndote obtener soluciones robustas y ajustadas a las necesidades de la vida real.